一般化友愛数

　一般化された友愛数の分類　：
　一般化された定義式は、次の通り
　　Ｓ（ｍ）＝Ｓ（ｎ）＝ｆ（ｍ，ｎ）　　　但し、Ｓ（ｍ）は約数関数‥‥σ（ｍ）、Ｕｎｉｔａｒｙσ（ｍ）、Ｕｎｉｔａｒｙφ（ｍ）、ｋ−Ｉｎｆｉｎｉｔａｒｙσ（ｍ）、　　　など
　　　　　　　　　　　　ｆ（ｍ，ｎ）は、ｍ、ｎの関数　　最も易しい例は、ｍ＋ｎ
　Ｃ．１　　オリジナル
　　σ（ｍ）＝σ（ｎ）＝ｍ＋ｎ
　Ｃ．２　　線形友愛数
　　σ（ｍ）＝σ（ｎ）＝ｕ＊ｍ＋ｖ＊ｎ　　　　ｕ＋ｖ＜１０
　　解は、たぶん、無限に存在する
　Ｃ．３　　有理友愛数
　　σ（ｍ）＝σ（ｎ）＝（ｍ＋ｎ）＾３／（ｍ＾２＋ｎ＾２）

　一例です　　　　一般に、有理式を定義に含む

　http://mathworld.wolfram.com/RationalAmicablePair.html

　Ｃ．４　　無理友愛数
　　Ｕφ（ｍ）＝Ｕφ（ｎ）＝１／８＊（５＊√ｍ−３＊√ｎ）＾２

　　解は、たぶん、無限には存在しない
　一例　　　　　　一般に、無理式を定義に含む

　http://oeis.org/A144587

　このように分類した理由は、それぞれのクラスの難しさの程度がかなり異なるから


　４＊ｐ＋３　という形式の素数　：
　一般化された友愛数としては、最も容易な部類の、次のようなものを計算しました
　分類では、Ｃ．２　‥‥　　｛ｕ，ｖ｝友愛数とよびます
　　σ（ｍ）＝σ（ｎ）＝３＊ｍ−ｎ
　　[定理』
　　ｐが素数　∧　４＊ｐ＋３が素数　⇒　次の形式の数は、皆、｛３，−１｝友愛数
　　２＾３＊５＊｛３＊ｐ，　４＊ｐ＋３｝
　　２＾５＊７＊｛３＊ｐ，　４＊ｐ＋３｝
　　２＾９＊１１＊３１＊｛３＊ｐ，　４＊ｐ＋３｝
　　２^１３＊１１＊４３＊１２７＊｛３＊ｐ，　４＊ｐ＋３｝


　プログラムと結果　‥‥　はじめのほうだけ

　　prog(k) = { my(m = 90, u = 2, v = 1); until(k<m, my(n = (sigma(m) - u*m)/v) ; if(0<n, if(1/u*(sigma(n) - v*n) == m, print(factor(m), ",", factor(n)))); m++)};
prog(8000000)
[2, 3; 3, 1; 5, 1],[2, 3; 3, 1; 5, 1]
[2, 5; 3, 1; 7, 1],[2, 5; 3, 1; 7, 1]
[2, 2; 3, 1; 5, 1; 29, 1],[2, 3; 3, 1; 5, 1; 13, 1]
[2, 5; 3, 5],[2, 2; 3, 2; 5, 1; 41, 1]
[2, 2; 3, 2; 5, 1; 107, 1],[2, 5; 3, 2; 71, 1]
[2, 5; 3, 1; 5, 1; 43, 1],[2, 5; 3, 1; 263, 1]
[2, 3; 3, 5; 11, 1],[2, 5; 3, 2; 79, 1]
[2, 2; 3, 3; 7, 1; 29, 1],[2, 3; 3, 1; 7, 1; 139, 1]
[2, 2; 3, 2; 7, 1; 89, 1],[2, 3; 3, 2; 7, 1; 41, 1]
[2, 1; 3, 2; 5, 1; 7, 1; 41, 1],[2, 2; 3, 2; 7, 1; 107, 1]
[2, 4; 3, 1; 5, 1; 131, 1],[2, 9; 3, 1; 23, 1]
[2, 5; 3, 1; 11, 1; 53, 1],[2, 5; 3, 1; 5, 1; 107, 1]
[2, 5; 3, 2; 17, 1; 19, 1],[2, 3; 3, 2; 1511, 1]
[2, 1; 3, 1; 5, 1; 7, 1; 13, 1; 37, 1],[2, 2; 3, 1; 7, 1; 11, 1; 113, 1]
[2, 2; 3, 1; 5, 1; 29, 1; 61, 1],[2, 3; 3, 1; 5, 2; 167, 1]
[2, 1; 3, 3; 5, 1; 13, 1; 41, 1],[2, 2; 3, 3; 5, 1; 251, 1]
[2, 2; 3, 2; 13, 1; 17, 1; 19, 1],[2, 3; 3, 2; 13, 1; 167, 1]
[2, 3; 3, 2; 11, 1; 251, 1],[2, 5; 3, 2; 23, 1; 29, 1]
[2, 1; 3, 3; 5, 1; 11, 1; 83, 1],[2, 2; 3, 3; 5, 1; 431, 1]