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2016年10月08日23:09

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縮退物質円板による重力発生モデルに基づくペガッサ市の重力について(空想科学日記シリーズ)

 タイトルが「ウルトラマン 空想特撮シリーズ」のオマージュであるのは言うまでもない。(シリーズと書いたが続くかどうか定かでない)

 mixiコミュニティ「科学とかSFとか」で、ウルトラセブン第6話「ダーク・ゾーン」が話題になった。この話はあまりに有名なので説明はしないが、トピックで「ペガッサ市の質量はどのくらいなのだろうか」という問題が提起された。そこで色々考えた結果を書いてみる。

 以前のコメントを繰り返すのも面倒なので、まずリンクしておこう。
http://mixi.jp/view_bbs_comment.pl?comment_number=72&community_id=15925&bbs_id=80588926
http://mixi.jp/view_bbs_comment.pl?comment_number=75&community_id=15925&bbs_id=80588926

 第二のコメントで思いついた、円板による重力発生というアイデアが気にいったので、もう少し計算してみることにした。その立場でペガッサ市の質量を求めてみようというわけだ。

 その前に、順序としてペガッサ市の半径を求める式を導くことからやっておこう。コメントでは式の誘導を示さなかったが、いたって簡単な計算だ。
フォト

 これがペガッサ市を「球と仮定した」ときの半径である。もちろん「実際の」ペガッサ市は全く球形ではないが、第一次近似としてまず出してみたわけだ。

 ここから本題である。ペガッサ市を円板の集合体として「第二次近似」する。まず、ペガッサ市を構成する円板ユニット一つについて考えてみよう。ユニットを半径r、厚みdxの円盤と単純化して考える。
 円板の単位面積あたりの密度をρとする。ペガッサ市の密度は40万g/^3(白色矮星の密度と同じ)と考えられるので、まず計算を簡単にするためdxを1僂箸靴討澆茲Α
 これによって円板の密度は、1平方m当たり40万×10^4g=4×10^6/m^2となる。

 この円板の中央部においた物体の受ける引力は高校程度の積分で計算できるのだが、かなり長い計算になるので結論だけ示すと、

フォト

となる。
(ウェブ記事では、↓が参考になる)
http://homepage2.nifty.com/AXION/contents/fiction/004.html

 円板の中心部、高さ1mの距離(x=1)で受ける重力を考えてみよう。
ペガッサ市の円板ユニットの直径は、トピックの
http://mixi.jp/view_bbs_comment.pl?comment_number=80&community_id=15925&bbs_id=80588926
で神雅紀さんがアップした画像から推測できる。
 画像にはウルトラホーク1号が見える。ここからすると、円板の直径はホーク1号の全長の6倍程度のようだ。ホーク1号は全長42mなので、円板の直径は250m程度になるだろう。すると半径は125mになるが、それだと計算が若干面倒になるので、半径100mと仮定する。
これにより、
フォト

となり、1メートルの高さで1万分の1G程度になる。これは円板の厚さdx=1僂両豺腓如円板の厚さを1mにすれば重力は100倍になるが、それでも1.7×10^-2[G]で、やはり弱すぎる。重力を1G程度にするには厚みを100mにしなければならず、これではもはや円板とは言えない。

 そこで円板のサイズをもう少し大きくする必要がある。
フォト

は定数なので、
フォト

だけを考えればいい。この部分をもう少し考えてみよう。
 円板からの高さxは常に1mとすれば、この式の平方根の中は√(R^2 )とほとんど等しくなるので、Rに比例すると考えていいことになる。つまり、
フォト

と近似できる。この近似を使って計算を簡単にしてみよう。
円板重力定数:P=2πρG=1.6773×10^-3[m・s^-2]
と呼ぶことにすると、(R>>x)のとき、
フォト

という簡単な式になる。ここから、
フォト

半径500mだと0.998P、……等々。
 この式から、円板の半径が大きくなればPの係数は1に近づくことがわかる。つまり円板の半径を無限大にすれば、円板による引力は距離によらず一定になる。
 円板の引力は力学教科書に出てくるので、これは割とよく知られた事実である。別な視点から見ると、一定加速度で飛行する宇宙船の上で感じられる重力と同じ性質ということになる(仔細は省く)。
 というわけだから、問題の条件に従うと円板の重力は円板の厚みに比例するという結論になる。つまり重力を1.7Gにするには円板の厚みを100mにする以外に方法がない。重力を1Gちょうどにすると円板の厚みは約59mになる。
 厚みが増しても形状はペガッサ市の形に合わせたいので、半径は少なくとも厚みの100倍は必要になるだろう。つまり半径は最低でもR=5900m。
(この大きさだとトピックの画像とは合致しなくなるが、それは言わない約束である)

 以上によって、妥当な円板のディメンションを、
円板の直径=12
円板の厚さ=60m
とする。
この円板の質量は、
フォト

となり、円板一枚の質量は約2700兆トン。
 地球の質量は6×10^24圓覆里如4.5×10^-7倍。円板の質量は地球の約200万分の1になる。ペガッサ市の全体像はよく分からないのだが、ネット上の画像をいろいろ見たところでは、この円板が20個くらい、ベンゼン環のような形に組み合わされているらしい。
 そこで全体の質量はその20倍くらいになり、地球の9×10^-6倍で、約10万分の1になった。
 きりのいい数字が出たので、これで結論としておこう。

 質量が地球の10万分の1というと、衝突しても大したことがないような気になるが、これは大体月の1300分の1の質量になる。月と同じ密度なら直径は月の11分の1、直径約300劼両惑星がぶつかってくるのと同じだ。
 このクラスの天体衝突についても日記に書いたことがある。
http://mixi.jp/view_diary.pl?id=1947223171&owner_id=62927979
 その時出した結論は、密度3.0g/^3、直径880劼両惑星が秒速20劼脳彳佑垢襪斑狼紊鰐擇鍛屡塵に破壊されるというものだった。この結論が正しいかどうかはかなり疑問だが、直径300劼任眤臺僂覆海箸砲覆襪里漏里だ。恐竜を絶滅させたと言われる小惑星衝突でできたチクシュルーブ・クレーターの直径は160劼如⊂惑星の直径は10劼ら15劼世箸いΑ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC
 というわけで、今求めたペガッサ市の質量からすると、ペガッサ市が衝突すれば地球が滅亡するのは間違いない。

 なるほど、これでは地球防衛軍も必死になるわけだなあ。

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コメント

  • mixiユーザー

    mixiユーザー2016年10月09日 00:57
    補足すると、式から分かるように、P=円板重力定数は、x=0の時の重力である。つまり円板の表面の重力ということになる。
  • mixiユーザー

    mixiユーザー2016年10月09日 01:20
    この円板重力定数は円板の厚みだけに比例し、円板の半径によらない。ということは円板の表面重力は、円板が大きくても小さくても変わらないことになる。これは直感に反する気がするが、計算上は確かにそうなる。
  • mixiユーザー

    mixiユーザー2016年10月09日 12:31
    一晩寝たら最後で計算間違いに気づいたので書き直したが、結論は変わらない。
  • mixiユーザー

    mixiユーザー2016年10月09日 14:42
    結論:人類滅亡。

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