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2013年12月07日20:31

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ロジスティック写像

0 ≦ a ≦ 4 に対して、二次方程式を用いた写像
x(n+1) = a * x(n) * (1 - x(n))
で定義される写像のこと(但し 0 ≦ x(0) ≦ 1 、x(0) は初期値)。
写像としての過程を世代という離散値にすることで、極めて複雑な振舞いをすることがロバート・メイ(Robert McCredie May)によって明らかにされた(1976年)。

この写像は生物の個体数が世代を重ねることでどのように変動していくのかのモデルとして説明される。
ここで a が繁殖率、x(n) が世代目の個体数を表している。
・0 ≦ a ≦ 1 のとき、個体数 x(n) は 0 に収束する。
・1 < a ≦ 2 のとき、個体数 x(n) は 1 - 1/a に単調収束する。
・2 < a ≦ 3 のとき、個体数 x(n) は 1 - 1/a に振動しながら収束する。
・3 < a ≦ 3.56994567… のとき、x(n) が2つの値を繰り返す様になる。さらに a を増やすと x(n) のとる値が4つ、8つというように 2 の冪乗個の間を振動する。この周期逓倍点の間隔は一定の比率ファイゲンバウム定数(δ ‎‎‎‎‎‎‎≈ 4.6692…)で縮まる。
・3.56994567… <a ≦ 4 のとき、x(n) のとる値に規則性が見られなくなる。この境界値(≈ 3.5699456718709449018420051513864989367638369115148323781079755299213628875001367775263210342163…)をファイゲンバウム点と呼ぶ。周期逓倍点の間隔が0に収束し、周期が無限大に発散したのであるが、場所によっては3と7の周期性が戻る。この部分は"窓"と呼ばれる。
※ 左図:ロジスティック写像における周期逓倍分岐図(2.4 ≦ a ≦ 4.0)

この様に単純な二次方程式から複雑な振る舞いが発生し、また 4 付近では初期値のわずかな違い(例えば0.1と0.1000001)が将来の値に決定的な違いをもたらしている。
例えば、a = 4 のとき、x(0) = 0.1 、x'(0) = 0.1000001 とおくと、
x(0) , x'(0):0.1 , 0.000001
x(1) , x'(1):0.36 , 0.36000032
x(2) , x'(2):0.9216 , 0.921600358
x(3) , x'(3):0.28901376 , 0.289012551
x(4) , x'(4):0.821939226 , 0.821937186
x(5) , x'(5):0.585420539 , 0.585425794

x(95) , x'(95):0.479492629 , 0.004792030
x(96) , x'(96):0.998317791 , 0.019076266
x(97) , x'(97):0.006717517 , 0.074849449
x(98) , x'(98):0.026689569 , 0.276988036
x(99) , x'(99):0.103908943 , 0.801062655
x(100) , x'(100):0.372447497 , 0.637445111

というように、初期の条件が少しでも異なると将来の個体数 x(n) がその影響を受けてしまい、その値を簡単には予測できなくなる(カオス)。
※ 右図:ロジスティック写像における波形

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
ttp://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
ttp://www.riise.hiroshima-u.ac.jp/ePhysics/swf/logistic.html
ttp://www.riise.hiroshima-u.ac.jp/ePhysics/swf/logisticauto.html
ttp://homepage3.nifty.com/imura/07math-by-excel/LogisticFunction/LogisticFunction.htm

参照(語彙):ファイゲンバウム定数(δ ‎‎‎‎‎‎‎≈ 4.66920160910299067185320382046620161725818557747576863274565134300413433021131473713868974402394801381716…)
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%90%E3%82%A6%E3%83%A0%E5%AE%9A%E6%95%B0
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_constants
ttp://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html
参照(関連サイト):ロジスティック写像
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/function/logisticcurve.htm
ttp://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
参照(過去の日記):カオス理論
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=684552187&owner_id=14882521
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