直接証明と間接証明

直接証明とは、初めに与えられた仮定から順次に推論を進めて結論を導く証明法のこと。
即ち P⇒Q を証明したいとき、P⇒Q を直に証明する方法を言う。例としては定言的三段論法や仮言三段論法など。

これに対して間接証明とは、ある事柄が正しいことを真偽が明確な他の事柄をもとに間接的に示す証明法のこと。
即ち P⇒Q が真であることを直接証明する代わりに、P⇒Q と同値な別の命題が真であることを証明する方法を言う。
これらはあくまで直観的な分類に過ぎず、数学的な定義があるわけではない。

数学などでは直接的証明が不可能な場合やかえって証明が複雑になる場合などでは間接証明が用いられる。
数学でもっとも多く用いられる間接証明は背理法（帰謬法）であるが、ほかに転換法、同一法などとよばれる方法がある。
例えば、素数が無限個存在する、√2 は有理数でない、などを証明するとき間接証明を用いる。

直接証明と間接証明の違いを例に挙げる。

【問】
AB ＝ CD ＝ DA 、∠ABC ＝ 90°、∠BCD ＝ ∠CDA である □ABCD が正方形であることを示しなさい。
※　左画像参照

【直接証明による解法例】
題意より △ABD 及び △DAC は二等辺三角形、△ABC は直角三角形。
∠ADC ≦ 90°…(1) なので ∠DCA ≧ 45°、
一方、∠BCD ≦ 90°から ∠DCA + ∠BCA ≦ 90°なので ∠BCA ≦ 45°。
△ABC は直角三角形より ∠BCA ≦ 45°なので ∠BAC ≧ 45°、
これにより BC ≧ AB 。
従って △BCD でも BC ≧ CD（ ＝ AB ）なので ∠CBD ≦ ∠CDB …(2) 。
∠ABC ＝ 90°から ∠ABD + ∠CBD ＝ 90°…(3)。
(2) 及び (3) から ∠ABD + ∠CDB ≧ 90°…(4)。
△ABD は二等辺三角形より ∠ABD ＝ ∠ADB …(5)。
(4) 及び (5) から ∠ADB + ∠CDB ＝ ∠ADC ≧ 90°…(6)、
(1) から ∠ADC ≦ 90°、(6) から ∠ADC ≧ 90°なので、
即ち 90°≦ ∠ADC ≦ 90°なので、∠ADC ＝ 90°。
題意より ∠ABC ＝ 90°及び ∠ADC ＝ ∠ BCD から、
∠ABC ＝ ∠ADC ＝ ∠ BCD ＝ ∠BAD ＝ 90°。
また題意より AB ＝ AD ＝ CD なので、
□ABCD は三辺が等しい長方形となり、正方形。
Q.E.D.

【間接証明（背理法）による解法例】
題意より AB ＝ CD ＝ DA 、∠BCD ＝ ∠ADC から 60°＜ ∠BCD ＝ ∠ADC ≦ 90°。
仮に 60°＜ ∠BCD ＝ ∠ ADC ＜ 90°であれば、
点 A 及び点 B は DC を底辺に持つ二等辺三角形のそれぞれの斜辺上に存在する。
ここで二等辺三角形の頂点を点 T 、点 B の垂線と TD の交点を点 E と置く。
題意より ∠ABC ＝ 90°から AB ＝ EB でなければならない。…(*)
ところが二等辺三角形の辺 CT を横に寝かしたときの高さに相当する EB は、
∠BCD ＜ 90°から辺 DC の長さより短くなるので DC ≠ EB 。
題意より AB ＝ DC なので AB ≠ EB。これは (*) に矛盾。
従って ∠BCD ＝ ∠ADC ＝ 90°となり、∠DAB ＝ ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠ADC ＝ 90°。
□ABCD は三辺が等しい長方形なので、正方形。
Q.E.D.
※　右画像参照

ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E9%96%93%E6%8E%A5%E8%A8%BC%E6%98%8E%E6%B3%95/
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%BC%E6%98%8E
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Direct_proof

参照（語彙）：
転換法
ttp://dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=%E8%BB%A2%E6%8F%9B%E6%B3%95&dtype=0
同一法
ttp://dic.yahoo.co.jp/dsearch?enc=UTF-8&p=%E5%90%8C%E4%B8%80%E6%B3%95&dtype=0

参照（関連サイト）：
無限降下法（背理法の一）
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%B3%95
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_descent
反対称律（任意の元 a,b において、a≦b かつ b≦a ならば a＝b が成立）
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Total_order

参照（過去の日記）：
背理法（帰謬法）
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=680270593&owner_id=14882521
両刀論法（仮言選言三段論法）
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=728554015&owner_id=14882521
Q.E.D.とQ.E.F.
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=1590696435&owner_id=14882521