tan1°、cos1°、sin1°が無理数であることの証明

【問題１】tan1°が無理数であることを示しなさい。
tan1°が有理数であると仮定して以下のtanの加法定理を繰り返し使うと、
tan30°=1/√3 が有理数であることになり矛盾。故に、tan1°は無理数。
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
※　画像は、2006年度京都大学後期理系第6問。ちなみに、この問題の平均点は（30点中）2.9点。

【問題２】cos1°が無理数であることを示しなさい。
cosの加法定理はcosとsinが混じってきてしまい、tanの場合と全く同様の手法は使えない。
しかし、cosには「n倍角公式」を用いることで、cosのn倍角公式はcosだけの多項式で表せる（（第１種）チェビシェフ多項式）。
即ち、以下の和積公式を用いれば数学的帰納法（n=k,k+1を仮定してn=k+2を示すタイプ）によって容易に証明される。
cos(n+2)θ+cosnθ=2cos(n+1)θcosθ
これを使うと、cos1°が無理数であることが直ちに証明される。
実際、cos1°が有理数であると仮定すると、「cosの30倍角の公式」を使うことにより、
cos30°=√3/2 が有理数であることになり矛盾。故に、cos1°は無理数。

【問題３】sin1°が無理数であることを示しなさい。
cosの場合はcosnθをcosθを用いて（多項式で）表すことが出来るが、sinの場合はそれが出来ない。
実際、sin2θ=2sinθcosθはsinθの多項式として表すことが出来ず、
従ってsin1°が有理数だと仮定しても、sin2°が有理数であると結論付けられない。
しかし、sinの「３倍角の公式」を用いることで、sin3θならばsinθの整数係数の３次式で表すことが出来るため、
sin1°が有理数だと仮定すれば、sin3°は有理数だと言うことが出来る。
同様に、sin(奇数)θの形の数は全てsinθの整数係数の多項式で表せることが、以下の式（と３倍角の公式）から帰納的に導ける。
sin(2n+3)θ+sin(2n-1)θ=2sin(2n+1)θ(1-2sin^2θ)
※ cosのときは「連続的」な３項間漸化式だったのに対し、sinについては「一つ飛ばし」の３項間漸化式になっている。
sin(奇数)θの形の数がsinθの整数係数の多項式で表せるため、sin1°が有理数だと仮定すれば、sin15°が有理数であることがわかる。
しかしながら、sin15°=(√6-√2)/4は有理数ではないので矛盾。故に、sin1°は無理数。
また、cosの問題に帰着させることができる。
先ず、sin1°＝cos89°（余角公式）なので、sin1°が有理数であると仮定するとcos89°が有理数ということになる。
次に，上で導いた「cosの30倍角の公式」を使うと、cos(30*89°)=cos2670°も有理数になることになる。
しかし、cos 2670°=cos(360*7+150)°=cos150°=-√3/2 は無理数なので矛盾。故に、sin1°は無理数。

上記のように、tan1°、cos1°、sin1°はいずれも無理数であるが、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を用いることで
これらが超越数であることが示される（塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版）。

ttp://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/cat_50049467.html
ttp://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/50196155.html

参照（語彙）：
三角関数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0
ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0
超越数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
ttp://100.yahoo.co.jp/detail/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
ゲルフォント＝シュナイダーの定理
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_theorem

参照（過去の日記）：
円周率πが無理数・超越数であることの証明
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=669906408&owner_id=14882521
自然対数の底eが無理数・超越数であることの証明
ttp://mixi.jp/view_diary.pl?id=731516588&owner_id=14882521